Arbeid og energi, eksempel med trekking av akebrett

Oppgave

Figur 1 Kari sitter på akebrett og blir trukket av storesøsteren sin 200m bortover en vannrett vei. Trekkraften er 16 N i  retning 20° opp fra veien.

a) Lag en figur som viser trekkrafta på akebrettet.

b) Hvor stort arbeid utfører trekkrafta?

c) På akebrettet virker det en friksjonskraft R = 15 N rett bakover. Hvor stort arbeid utfører R?

d) Er det andre krefter enn trekkrafta og friksjonskrafta som virker på akebrettet (med Kari på)? Hva kan du si om det arbeidet disse kreftene utfører?

e) Hvor stor kinetisk energi har Kari og akebrettet etter 200m?

Vi vet ikke hvor stor fart akebrettet hadde i utgangspunktet, så vi kan ikke beregne den kinetiske energien, kun endringen i den.

\[W_{\Sigma F} = \Delta E_k\]

Det betyr (se videoen over) at akebrettet har en kinetisk energi som er 7J større etter å ha blitt dratt 200m bortover veien.

(Noen vil kanskje påpeke at vi bruker for mange gjeldende siffer i utregningen, og det har de nok rett i. De vil derfor si at vi ikke helt vet om energien egentlig har økt.)

f) Hvis Kari og akebrettet til sammen har en masse på 14kg. Hvor stor fart har hun da?

Akkurat som i e) kan vi ikke vite hvor stor fart hun har. Vi kan bare, om vi antar at den kinetiske energien har økt  med 7J 
\[\Delta E_k = 7J\]
si at farten har økt med \(1m/s\).
\[v-v_0 = 1m/s\]

De fire regneartene

Min yngste holder på med begreper for de fire regneartene. Derfor laget vi en enkel plakat:

Oppgave med kloss på plan. Newtons første og andre lov samt veilikninger

Oppgave

En kloss ligger i ro på en vannrett overflate, se Figur 1. I denne oppgaven ser vi bort fra friksjon og luftmotstand.

Figur 1: Kloss med masse m=3.0kg ligger i ro på et plan.

a)      Tegn kreftene som virker på klossen når den ligger i ro.

Klossen settes i bevegelse mot høyre av en konstant kraft. Etter seks sekunder måler vi farten til å være \(v=4m/s\).

b)      Regn ut hvor stor kraften som forårsaker akselerasjonen er.

c)      Tegn en figur som viser kreftene på klossen under denne bevegelsen.

Etter seks sekunder slutter kraften i b) å virke, og klossen beveger seg videre upåvirket av horisontale krefter i 4 sekunder.

d)      Beskriv bevegelsen klossen har nå. Hvor langt beveger den seg på disse fire sekundene?

En ny kraft påvirker klossen slik at den stopper helt opp i løpet av 2 meter.

e)      Tegn kreftene som virker på klossen under nedbremsingen

f)       Tegn veigraf, fartsgraf, og akselerasjonsgraf for hele bevegelsen fra  \(t=0\) til klossen stopper opp.

Løsningsforslag

a) Vi vet at klossen ligger i ro. Da vet vi fra Newtons første lov at summen av kreftene på klossen må være null.

$$\Sigma F = 0$$

Tyngden \(G\) virker nedover og normalkraften \(N\) virker oppover.

Figur 2: Klossen ligger i ro. Summen av kreftene er null.

Kraften \(G\) er gitt ved

\[G=mg=3.0kg\cdot 9.81m/s^2 = 29.4N\],

og har retning nedover.

Siden summen av kreftene skal være null må \(N\) være like stor og motsatt rettet, altså

\[N=29.4N\]

rettet oppover.

b-c) Før vi begynner setter vi opp de opplysningene vi har

\[v_0 = 0\]

\[v=4m/s\]

\[t=6s\]

\[m=3.0kg\]

Vi skal regne ut kraften som forårsaker bevegelsen. Vi vet at det er en konstant kraft som virker mot høyre.

Figur 3: Det virker en konstant kraft F mot høyre. 

Videre vet vi at summen av de vertikale kreftene er null, slik at den netto kraften som virker på klossen er \(F\). Vi vet også at denne kraften forsårsaker en akselerasjon (fra Newtons andre lov) av klossen gitt ved

\[F=ma\].

Ut fra opplysningen i oppgaven kan vi regne ut akselerasjonen

\[ a = \frac{v-v_0}{t}\]

som gir

\[a=0.67m/s^2\].

Ut fra dette kan vi regne ut kraften

\[F=ma=2.0N\].

d) Vi er nå tilbake til situasjonen slik den vises i figur 2. Ingen krefter virker horisontalt, og summen av de vertikale kreftene er null. Newtons første lov sier da at klossen vil bevege seg med konstant fart \(v=4m/s\) i \(t=4s\). Avstanden den tilbakelegger vil være

\[s=vt=16m\].

e) Klossen blir bremset ned av en ny kraft. Denne kraften må virke i motsatt retning av bevegelsen, altså slik:

Figur 4: Klossen blir bremset av kraften \(F_2\).

For å finne størrelsen på \(F_2\) må vi vite akselerasjonen. Det vi vet er følgende:
\[s=2.0m\]
\[v=0\]
\[v_0=4.0m/s\]
Vi kan da regne ut akselerasjonen fra den tidløse veilikningen
\[v^2-v_0^2=2as\]
som i dette tilfellet gir
\[a=-4.0m/s^2\].
Kraften blir da
\[F_2=ma=-12.0N\]
altså \(12.0N\) mot venstre.

f) Vi deler bevegelsen til klossen opp i tre deler

1. Beskrives av figur 3. Konstant positiv akselerasjon.
2. Beskrives av figur 2. Konstant fart.
3. Beskrives av figur 4. Konstant negativ akselerasjon.

Del 1:

$$v_0=0$$

$$v=4m/s$$

$$a=0.67m/s^2$$

$$t=6s$$

$$s=12m$$

Altså får vi for de første seks sekundene av bevegelsen:

Veigraf: \( s(t) = \frac{1}{2}\cdot 0.67m/s^2\cdot t^2 \)

Fartsgraf: \( v(t)=0.67m/s^2\cdot t \)

Akselerasjonsgraf: \( a(t)=0.67m/s^2\)

Del 2:

$$v=4m/s$$

$$a=0$$

$$t=4s$$

$$s=16m$$

Altså får vi for tiden fra seks til ti sekunder:

Veigraf: \( s(t) = 12m + \frac{1}{2}\cdot 4m/s\cdot t \)

Fartsgraf: \( v(t)=4m/s\)

Akselerasjonsgraf: \( a(t)=0m/s^2\)

Del 3:

$$v_0=4m/s$$

$$v=0$$

$$a=-4m/s^2$$

$$s=2m$$

$$t=1s$$

Fra tiden \(t=10s\) til \(t=11s\) får vi altså

Veigraf: \( s(t) = 28m + 4.0m/s\cdot t - \frac{1}{2}\cdot 4.0m/s^2\cdot t^2 \)

Fartsgraf: \( v(t)=4m/s - 4.0m/s^2\cdot t \)

Akselerasjonsgraf: \( a(t)=-4.0m/s^2\)

Veigraf for hele bevegelsen

Figur 5: Veigraf for hele bevegelsen. De vertikale linjene er skille mellom de tre fasene i bevegelsen

Figur 6: Fartsgraf for hele bevegelsen. De vertikale linjene er skille mellom de tre fasene i bevegelsen

Figur 7: Akselerasjonsgraf for hele bevegelsen. De vertikale linjene er skille mellom de tre fasene i bevegelsen

Oppgave om massetetthet og tyngde

Oppgave

Et messinglodd (Figur 2) har massen  \(m=200g\) og massetetthet \(\rho_m = 8.30\cdot 10^3 kg/m^3\).

a)      Hvor stort volum har loddet?

b)      Hva er tyngden til loddet?

c)     Astronauten på bildet i Figur 1 har masse 148kg. Hva veier han?

Figur 1 Astronaut på månen

Figur 2 Messinglodd med masse 200g Løsningsforslag a) Vi setter opp opplysningene vi har i oppgaven \[m=200g = 0.2kg\] \[\rho_m = 8.30\cdot 10^3 kg/m^3\] Vi har utrykket for massetettheten gitt ved \[\rho = \frac{m}{V}\] Fra denne får vi at \[V=\frac{m}{\rho}\] Setter vi inn tallene fra oppgaven får vi \[V=2.4\cdot 10^{-5}m^3\]. b) Tyngden av loddet på jorden er \[ G=mg\] der \(g=9,81m/s^2\). Vi får da \[G=0.2kg\cdot 9,81m/s^2 = 1.96N\] c) Siden astronauten er på månen, så er tyngdens akselerasjon der han er gitt ved (slår denne opp i en tabell) \[g_m=1.62m/s^2\]. Tyngden er da gitt ved \[G=mg_m\] Setter vi inn tallene fra oppgaven får vi \[ G=240N\]

Fysikkeksempel - Massetetthet

Når vi i dagligtale sier at bomull er lettere enn jern er vi unøyaktige. \(1 kg\) bomull har selvsagt samme masse som \(1 kg\) jern. Det vi mener med slike utsagn er at bomull har lavere massetetthet enn jern, slik at om vi har to like store volumer av bomull og jern, så vil uten tvil bomullen være lettest. Vi definerer massetetthet rett og slett som masse pr. volum:

\[\rho = \frac{m}{V}\]

der \(m\) er massen i kg og \(V\) er volum i \(m^3\).

Eksempel 1

\(4.2\) liter olje har massen \(3.8 kg\). Beregn massetettheten til oljen.

Eksempel 2

Et jernstykke har massen \(53.2 kg\). Beregn volumet til jernstykket.

Løsning på eksemplene:

MathJax - Matematikk

Prøve å finne en akseptabel måte å skrive matematikk på denne bloggen, og har kommet over MathJax som ser ut til å fungere utmerket. Test under:

Dette er en test \( E=mc^2\)
 Hva med denne \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Regnerekkefølge

Regnerekkefølge er kanskje ikke det meste spennende av matematiske temaer, men det er svært viktig å få riktig. Min erfaring er at mange elever ikke kan dette godt nok. La oss se hva du kan.

Prøv å regne ut

\[6 - 2\cdot 3\]

Hva fikk du?

Mange får svaret til å bli 12. De regner først ut 6 - 2 og får 4 som de deretter multipliserer med 3 og får 12. Enkelt tenker de, men det er faktisk ikke rett. I matematikk skal de forskjellige regneartene utføres i en bestemt rekkefølge. I dette tilfellet skal multiplikasjonen utføres først:

$$6 - 2\cdot 3 = 6 - 6 = 0!$$

Vi utfører først multiplikasjonen, deretter subtraksjonen, og får null.

Grunnen til at mange ikke kan dette er at når vi bare har samme type operator spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi utfører regningen i, for eksempel er

$$4 + 6 + 3 = 13$$

uansett hvilken rekkefølge vi gjør det i. Det samme vil gjelde for multiplikasjon:

$$3\cdot 5\cdot 2 = 30$$

igjen uansett hvilken rekkefølge vi gjør det i. Når vi så blander forskjellige operasjoner må vi passe på å holde tunga beint i munnen. Da er rekkefølgen helt avgjørende for å få rett svar.

Jeg har forsøkt å forklare dette i et par videoer. Hvis du synes du trenger litt repetisjon, se gjerne de:

For å oppsummere så er  regnerekkefølgen:

1. Regn ut parenteser
2. Regn ut potenser
3. Regn ut multiplikasjon (gange) og divisjon (dele)
4. Regn ut addisjon (+) og subtraksjon (-)