De fire regneartene

Min yngste holder på med begreper for de fire regneartene. Derfor laget vi en enkel plakat:

Oppgave med kloss på plan. Newtons første og andre lov samt veilikninger

Oppgave

En kloss ligger i ro på en vannrett overflate, se Figur 1. I denne oppgaven ser vi bort fra friksjon og luftmotstand.

Figur 1: Kloss med masse m=3.0kg ligger i ro på et plan.

a)      Tegn kreftene som virker på klossen når den ligger i ro.

Klossen settes i bevegelse mot høyre av en konstant kraft. Etter seks sekunder måler vi farten til å være \(v=4m/s\).

b)      Regn ut hvor stor kraften som forårsaker akselerasjonen er.

c)      Tegn en figur som viser kreftene på klossen under denne bevegelsen.

Etter seks sekunder slutter kraften i b) å virke, og klossen beveger seg videre upåvirket av horisontale krefter i 4 sekunder.

d)      Beskriv bevegelsen klossen har nå. Hvor langt beveger den seg på disse fire sekundene?

En ny kraft påvirker klossen slik at den stopper helt opp i løpet av 2 meter.

e)      Tegn kreftene som virker på klossen under nedbremsingen

f)       Tegn veigraf, fartsgraf, og akselerasjonsgraf for hele bevegelsen fra  \(t=0\) til klossen stopper opp.

Løsningsforslag

a) Vi vet at klossen ligger i ro. Da vet vi fra Newtons første lov at summen av kreftene på klossen må være null.

$$\Sigma F = 0$$

Tyngden \(G\) virker nedover og normalkraften \(N\) virker oppover.

Figur 2: Klossen ligger i ro. Summen av kreftene er null.

Kraften \(G\) er gitt ved

\[G=mg=3.0kg\cdot 9.81m/s^2 = 29.4N\],

og har retning nedover.

Siden summen av kreftene skal være null må \(N\) være like stor og motsatt rettet, altså

\[N=29.4N\]

rettet oppover.

b-c) Før vi begynner setter vi opp de opplysningene vi har

\[v_0 = 0\]

\[v=4m/s\]

\[t=6s\]

\[m=3.0kg\]

Vi skal regne ut kraften som forårsaker bevegelsen. Vi vet at det er en konstant kraft som virker mot høyre.

Figur 3: Det virker en konstant kraft F mot høyre. 

Videre vet vi at summen av de vertikale kreftene er null, slik at den netto kraften som virker på klossen er \(F\). Vi vet også at denne kraften forsårsaker en akselerasjon (fra Newtons andre lov) av klossen gitt ved

\[F=ma\].

Ut fra opplysningen i oppgaven kan vi regne ut akselerasjonen

\[ a = \frac{v-v_0}{t}\]

som gir

\[a=0.67m/s^2\].

Ut fra dette kan vi regne ut kraften

\[F=ma=2.0N\].

d) Vi er nå tilbake til situasjonen slik den vises i figur 2. Ingen krefter virker horisontalt, og summen av de vertikale kreftene er null. Newtons første lov sier da at klossen vil bevege seg med konstant fart \(v=4m/s\) i \(t=4s\). Avstanden den tilbakelegger vil være

\[s=vt=16m\].

e) Klossen blir bremset ned av en ny kraft. Denne kraften må virke i motsatt retning av bevegelsen, altså slik:

Figur 4: Klossen blir bremset av kraften \(F_2\).

For å finne størrelsen på \(F_2\) må vi vite akselerasjonen. Det vi vet er følgende:
\[s=2.0m\]
\[v=0\]
\[v_0=4.0m/s\]
Vi kan da regne ut akselerasjonen fra den tidløse veilikningen
\[v^2-v_0^2=2as\]
som i dette tilfellet gir
\[a=-4.0m/s^2\].
Kraften blir da
\[F_2=ma=-12.0N\]
altså \(12.0N\) mot venstre.

f) Vi deler bevegelsen til klossen opp i tre deler

1. Beskrives av figur 3. Konstant positiv akselerasjon.
2. Beskrives av figur 2. Konstant fart.
3. Beskrives av figur 4. Konstant negativ akselerasjon.

Del 1:

$$v_0=0$$

$$v=4m/s$$

$$a=0.67m/s^2$$

$$t=6s$$

$$s=12m$$

Altså får vi for de første seks sekundene av bevegelsen:

Veigraf: \( s(t) = \frac{1}{2}\cdot 0.67m/s^2\cdot t^2 \)

Fartsgraf: \( v(t)=0.67m/s^2\cdot t \)

Akselerasjonsgraf: \( a(t)=0.67m/s^2\)

Del 2:

$$v=4m/s$$

$$a=0$$

$$t=4s$$

$$s=16m$$

Altså får vi for tiden fra seks til ti sekunder:

Veigraf: \( s(t) = 12m + \frac{1}{2}\cdot 4m/s\cdot t \)

Fartsgraf: \( v(t)=4m/s\)

Akselerasjonsgraf: \( a(t)=0m/s^2\)

Del 3:

$$v_0=4m/s$$

$$v=0$$

$$a=-4m/s^2$$

$$s=2m$$

$$t=1s$$

Fra tiden \(t=10s\) til \(t=11s\) får vi altså

Veigraf: \( s(t) = 28m + 4.0m/s\cdot t - \frac{1}{2}\cdot 4.0m/s^2\cdot t^2 \)

Fartsgraf: \( v(t)=4m/s - 4.0m/s^2\cdot t \)

Akselerasjonsgraf: \( a(t)=-4.0m/s^2\)

Veigraf for hele bevegelsen

Figur 5: Veigraf for hele bevegelsen. De vertikale linjene er skille mellom de tre fasene i bevegelsen

Figur 6: Fartsgraf for hele bevegelsen. De vertikale linjene er skille mellom de tre fasene i bevegelsen

Figur 7: Akselerasjonsgraf for hele bevegelsen. De vertikale linjene er skille mellom de tre fasene i bevegelsen

Oppgave om massetetthet og tyngde

Oppgave

Et messinglodd (Figur 2) har massen  \(m=200g\) og massetetthet \(\rho_m = 8.30\cdot 10^3 kg/m^3\).

a)      Hvor stort volum har loddet?

b)      Hva er tyngden til loddet?

c)     Astronauten på bildet i Figur 1 har masse 148kg. Hva veier han?

Figur 1 Astronaut på månen

Figur 2 Messinglodd med masse 200g Løsningsforslag a) Vi setter opp opplysningene vi har i oppgaven \[m=200g = 0.2kg\] \[\rho_m = 8.30\cdot 10^3 kg/m^3\] Vi har utrykket for massetettheten gitt ved \[\rho = \frac{m}{V}\] Fra denne får vi at \[V=\frac{m}{\rho}\] Setter vi inn tallene fra oppgaven får vi \[V=2.4\cdot 10^{-5}m^3\]. b) Tyngden av loddet på jorden er \[ G=mg\] der \(g=9,81m/s^2\). Vi får da \[G=0.2kg\cdot 9,81m/s^2 = 1.96N\] c) Siden astronauten er på månen, så er tyngdens akselerasjon der han er gitt ved (slår denne opp i en tabell) \[g_m=1.62m/s^2\]. Tyngden er da gitt ved \[G=mg_m\] Setter vi inn tallene fra oppgaven får vi \[ G=240N\]